แคลคูลัส (Calculus) เป็นสาระการเรียนรู้หน่วยหนึ่งในวิชาคณิตศาสตร์ที่นักเรียนทุกคนต้องเผชิญ ไม่ว่าเราจะเป็นนักเรียนมัธยมปลายในโรงเรียนทั่วไปหรือโรงเรียนนานาชาติ หรือแม้กระทั่งนิสิตนักศึกษาในระดับปริญญาตรีก็ตาม
วิชาแคลคูลัสเป็นวิชาสำคัญในการเรียนต่อทางด้านสายวิทยาศาสตร์ แต่ด้วยความซับซ้อน ทำให้วิชานี้กลายเป็นไม้เบื่อไม้เมาของคนหลายคน โดยเฉพาะคนที่ไม่ชอบวิชาเลขอยู่เดิม
ในโพสนี้ผมจะแนะนำคอร์สเรียนต่างๆ ที่จะช่วยแก้ปัญหานี้ และช่วยเพิ่มความเข้าใจในวิชาแคลคูลัสให้กับทุกคนครับ แถมบางคอร์สยังสอนด้วยความสนุกสนาน และยังสามารถนำความรู้ไปใช้ได้จริงด้วยครับ
อย่างไรก็ดีคอร์สทั้งหมดที่ผมจะแนะนำจะเป็นภาษาอังกฤษทั้งหมดครับ
1. Shmoop
ถ้าคุณเบื่อกับการเรียนแคลคูลัสแบบไทยๆ ที่ครูสอนหน้ากระดาน และทำโจทย์ ผมแนะนำให้ลองเรียนแคลคูลัสกับ Shmoop ดูครับ การเรียนออนไลน์ (ทั้งผ่านตัวหนังสือและวิดีโอ) กับแพลตฟอร์มนี้จะเน้นไปที่ความสนุกสนานเป็นหลัก ซึ่งจะช่วยให้คุณผ่อนคลาย และรู้สึกรักวิชานี้มากยิ่งขึ้นครับ
คอร์สเรียนแคลคูลัสของ Shmoop จะมีตั้งแต่ระดับมัธยม (AP Calculus AB) ไปจนถึงระดับที่สอนในมหาวิทยาลัยที่ไทย (AP Calculus BC, College) ซึ่งในส่วนนี้จะมีประโยชน์มากๆ
อย่างที่ทราบกันดี วิชาแคลคูลัสในระดับที่สูงขึ้นจะต้องใช้ความรู้ของระดับก่อนหน้า หรือพูดง่ายๆ เรียนแคลคูลัสในมหาวิทยาลัยก็ต้องใช้พื้นฐานแคลคูลัสจากชั้นมัธยมปลาย ส่วนแคลคูลัส ม.ปลายก็ต้องใช้ความรู้เรื่องลิมิต (lim) ต่างๆ
ถ้าเราไม่เข้าใจตั้งแต่พื้นฐาน มันก็เป็นไปไม่ได้ที่เราจะเข้าใจความรู้ในระดับที่สูงกว่า
ดังนั้นเราต้องไปหาจุดที่ไม่เข้าใจให้เจอ และเริ่มแก้ไขตั้งแต่ตรงนั้น เพื่อให้พื้นฐานวิชาแคลคูลัสของเราแน่น ถ้าพื้นฐานแน่นแล้ว เราจะเข้าใจเนื้อหาในระดับที่สูงกว่ามากขึ้นตามลำดับครับ ซึ่ง Shmoop เองก็มีให้คุณเรียนมาตั้งแต่ระดับ Pre-Calculus ทำให้คุณกลับไปย้อนเรียนได้ง่ายมากๆ
นอกจากนี้ในแต่ละคอร์สยังมีแบบฝึกหัดอีกมากมายให้คุณได้ฝึกฝนประสบการณ์ด้วยครับ ซึ่งจะช่วยให้คุณจบปัญหาเรียนไม่เข้าใจแบบปลิดทิ้งครับ
สำหรับค่าเรียนจะเริ่มต้นที่ $12.5 หรือประมาณ 375 บาทต่อเดือนเท่านั้นเอง (ในกรณีที่สมัครเป็นรายปี) ดังนั้น Shoomp ถือเป็นทางเลือกที่ดีมากสำหรับใครที่ไม่เข้าใจแคลคูลัสครับ
Coursera
Coursera เป็นแพลตฟอร์มการศึกษาที่นำเสนอการเรียนกับคณาจารย์ชั้นนำผ่านทางออนไลน์ ถ้าคุณยังไม่เข้าใจว่าเรียนยังไง หรือมีเงื่อนไขอะไรบ้าง ผมแนะนำให้อ่านเพิ่มเติมที่บทความแพลตฟอร์มเรียนออนไลน์ของผมครับ
เรามาดูกันดีกว่าจะมีคอร์สไหนบ้างบนสองแพลตฟอร์มนี้ที่จะช่วยคุณให้เข้าใจแคลคูลัสอย่างถ่องแท้
2. Introduction to Calculus
คอร์สที่มีการเรียนการสอนโดยคณาจารย์จากมหาวิทยาลัยชั้นนำของประเทศออสเตรเลียอย่าง University of Sydney ตัวคอร์สจะเน้นไปที่การปูพื้นฐานวิชาคณิตศาสตร์สำหรับแคลคูลัสเพื่อให้นักเรียนทำความเข้าใจให้ดีเสียก่อน หลังจากถึงจะเข้าสู่เนื้อหาในระดับที่สูงขึ้นครับ
สิ่งที่คุณจะได้เรียนในคอร์สนี้ได้แก่
- ปูพื้นฐานสำหรับวิชาแคลคูลัสอย่างเช่น พีชคณิตเบื้องต้น สมการ ฯลฯ
- อธิบายฟังก์ชันรูปแบบต่างๆ อย่างเช่นฟังก์ชัน Composite, Inverse, Exponential ที่เป็นประโยชน์กับเราในการเรียนแคลคูลัสต่อไป
- แนะนำพื้นฐานของ Diffential Calculus (การหา Limit, ดิฟ ฯลฯ)
- อธิบาย Integral Calculus
- ประโยชน์ของแคลคูลัส เราเรียนไปเพื่ออะไร รวมไปถึงมีการประยุกต์ใช้งานจริงในรูปแบบไหนบ้าง
คอร์สนี้ผมมองว่าดีมาก เพราะนอกจากจะอธิบายแคลคูลัสให้เข้าใจง่ายแล้ว ยังช่วยแสดงให้คุณเห็นด้วยว่าแคลคูลัสเป็นวิชาที่มีประโยชน์มาก ซึ่งในส่วนนี้ผู้สอนตามห้องเรียนทั่วไปมักจะไม่ได้อธิบายเท่าไรนัก ภายในคอร์สจะมีแบบฝึกหัดให้คุณได้ฝึกฝนอีกด้วย แต่อาจจะไม่ได้มากเท่ากับ Shmoop ครับ
การเรียนสามารถเรียนได้ฟรี แต่ใครที่อยากให้ผู้สอนตรวจการบ้าน คุณจะต้องซื้อคอร์สในราคา $49 หรือประมาณ 1,470 บาทครับ
3. Calculus Through Data and Modeling
สำหรับใครที่อยากเข้าถึงการสอนที่เห็นภาพจริงๆ ผมแนะนำให้คุณเรียนกับหลักสูตรเหล่านี้ของ John Hopkins University ครับ คุณจะได้เข้าใจกระบวนการต่างๆ ของแคลคูลัสแบบลึกซึ้ง (ทั้งแบบตัวแปรเดียวและสองตัวแปร) เมื่อเรียนจบคุณจะเข้าใจและนำความรู้แคลคูลัสที่เรียนไปประยุกต์ใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพครับ
หลักสูตรเหล่านี้ประกอบด้วย
- Precalculus – ทำความเข้าใจคณิตศาสตร์พื้นฐานที่คุณต้องอาศัยในการทำความเข้าใจแคลคูลัส ในส่วนนี้จะเหมาะสำหรับการปรับพื้นฐานของคุณครับ
- Differential Calculus – เรียนการดิฟ การหาลิมิตผ่าน Mathematical Modeling
- Integral Calculus – เช่นเดียวกับหลักสูตรที่สอง แต่เปลี่ยนเนื้อหาจากดิฟเป็นอินทิเกรตครับ
แต่ละหลักสูตรจะมีการบ้านและโจทย์ รวมไปถึงตัวอย่างต่างๆ ที่ช่วยให้คุณเข้าใจหลักการทางคณิตศาสตร์ได้ดียิ่งขึ้น ในส่วนของค่าเรียนหลักสูตรที่ 1-2 จะอยู่ที่ $49 หรือประมาณ 1,470 บาทต่อเดือน ขณะที่หลักสูตรที่ 3 จะอยู่ที่ $39 หรือประมาณ 1,170 บาทต่อเดือนครับ
4. Vector Calculus for Engineers
สำหรับใครที่เรียนอยู่ในระดับมหาวิทยาลัยและปวดเศียรเวียนเกล้ากับ Vector Calculus ผมแนะนำให้ลงเรียนคอร์สนี้ของ The Hong Kong University of Science and Technology ครับ รับรองว่าจะช่วยแก้ปัญหาไม่เข้าใจได้อย่างแน่นอน
ภายในคอร์สประกอบด้วยเนื้อหาดังต่อไปนี้
- แนะนำ Vector และกระบวนการต่างๆ อย่างเช่น Dot Product, Cross Product
- Differentiation ใน Vector Calculus
- เจาะลึก Integration และ Curvilinear coordinates
- Line และ Surface Integrals
- ทฤษฎีต่างๆ ของ Vector Calculus
การเรียนคอร์สนี้ถือว่าละเอียดพอสมควรเลยทีเดียว เพราะใช้เวลานานถึง 28 ชั่วโมงในการเรียนให้จบ คอร์สนี้เรียนฟรี่เช่นเดียวกับคอร์สอื่นๆ แต่ถ้าอยากได้รับการตรวจการบ้านและประกาศนียบัตรจะต้องซื้อคอร์สในราคา $49 หรือประมาณ 1,470 บาทครับ
เคล็ดลับในการเรียนแคลคูลัส
ไม่ว่าคุณจะลงเรียนคอร์สไหนก็ตาม สิ่งที่สำคัญที่สุดก็คือการฝึกฝนทำโจทย์ด้วยตนเองครับ เช่นเดียวกับส่วนอื่นของวิชาคณิตศาสตร์ การจะเก่งได้ต้องอาศัยการฝึกฝนอย่างสม่ำเสมอนั่นเองครับ